Glavni ciljevi istraživanja
Do sada stečena znanja i upoznavanje sa problematikom usmjerava nas u istraživanja sa sljedećom tematikom.
1. Razvoj modela u 3D slučaju
Već smo spomenuli da je model viskoznog termoprovodljivog kompresibilnog mikropolarnog fluida razmatran samo u 1D slučaju. Pomak ka 3D modelu napravljen je kroz rad na doktoratu člana projekta gdje se razmatra 3D model sa sfernom simetrijom te je nedavno objavljen rezultat koji govori o egzistenciji generaliziranog rješenja lokalno po vremenu. Danja istraživanja bavit će se jedinstvenošću sfernosimetričnog generaliziranog rješenja te dokazom njegove globalne egzistencije. Namjeravamo odgovoriti i na pitanja o regularnosti i stabilizaciji rješenja 3D modela sa sfernom simetrijom.
2. Numeričko modeliranje u 1D slučaju
Aproksimativna rješenja za opisani model do sada su dobivana metodom Faedo-Galerkina. S numeričkog i praktičnog stanovišta ta metoda nije optimalna
pa nam je cilj primjenom metode konačnih razlika analizirati razne inicijalno rubne probleme za 1D slučaj. Dokazivat ćemo konvergenciju aproksimativnih rješenja dobivenih tom metodom te za konkretne probleme dati numeričku analizu dobivenih rezultata. Namjeravamo spomenutu metodu primijeniti i na 3D slučaj sa sfernom simetrijom. Dodatno će se razmatrati primjena numeričkih shema konačnih razlika višeg reda točnosti, te implicitni pristup numeričkom rješavanju s analizom stabilnosti i točnosti aproksimativnih rješenja. Numerički će se pokušati procijeniti utjecaj materijalnih parametara koji se pojavljuju u jednadžbama mikropolarnog fluida na dobivena rješenja, te će se napraviti analiza osjetljivosti rješenja s obzirom na spomenute parametre.
3. Matematičko modeliranje u 1D slučaju
U istraživanju modela mikropolarnog fluida koji razmatramo ostalo je neistraženo nekoliko problema kao što je primjerice problem istjecanja fluida u vakuum. Na taj se problem nije mogla primijeniti metoda Faedo-Galerkina pa u nastavku istraživanja primjenom metode konačnih razlika namjeravamo dokazivati
egzistenciju generaliziranog rješenja lokalno i globalno po vremenu, uz numeričku analizu rješenja za konkretne inicijalne i rubne uvjete.
Plan istraživanja po godinama za sljedeće tri godine
- godina istraživanja: Dio istraživanja odnosit će se na 3D model i razmatranje jedinstvenosti rješenja. Paralelno će dio tima razmatrati numeričko modeliranje 1D slučaja korištenjem metode konačnih razlika. Analizirat će se konvergencija numeričkih rješenja metodom konačnih razlika, kako za homogene tako i za nehomogene rubne uvjete.
- godina istraživanja: U nastavku će se za promatrani 3D model razmatrati egzistencija globalnog rješenja. Očekuje se da će taj dio istraživanja rezultirati disertacijom. Drugi smjer istraživanja bavit će se poopćavanjem numeričkih shema konačnih razlika u 1D slučaju, odnosno proširenjem prethodno razvijenih numeričkih shema na implicitne i sheme višeg reda točnosti. Također će se analizirati konvergencija numeričkih shema za razne inicijalne i rubne uvjete, te provesti analiza osjetljivosti parametara. Osim toga, na problemu istjecanja fluida u vakuum primijenit će se metoda konačnih razlika u cilju dokaza egzistencije rješenja.
- godina istraživanja: Nastavit će se rad na 1D slučaju istjecanja fluida u vakuum, te će se nakon dokaza egzistencije, analizirati konkretni slučajevi primjene. Metoda konačnih razlika planira se primijeniti i na 3D slučaj sa sfernom simetrijom. Dio istraživačkog tima provest će analizu osjetljivosti materijalnih parametara u promatranim problemima.
Metode i pristupi koji se planiraju uvesti
Jedinstvenost rješenja 3D problema dokazivat će se klasičnom metodom temeljenom na primjeni Gronwallove nejednakosti, a egzistencija globalnog rješenja primjenom tzv. principa produljenja lokalnog intervala egzistencije. Koristit će se i metoda konačnih razlika u kombinaciji s alatima realne i funkcionalne analize, a za analizu utjecaja materijalnih parametara modela na rješenja napravit će se analiza osjetljivosti (ANOVA prvog i drugog reda).
Očekivani rezultati
- godina (do lipnja 2014): budući je predloženo istraživanje već u tijeku, u slučaju prihvaćanja bitno ćemo ga intenzivirati, te se očekuje do lipnja 2014. objavljivanje barem jednog znanstvenog rada, te slanje jednog rada na recenziju, kao i sudjelovanje na jednoj znanstvenoj konferenciji.
- godina (srpanj 2014.-lipanj 2015): očekuje se obrana doktorske disertacije, objava barem dva znanstvena članka, prezentacija rezultata u sklopu Seminara za matematičko modeliranje na Sveučilištu u Zagrebu, te sudjelovanje na barem jednoj znanstvenoj konferenciji.
- godina (srpanj 2015.-lipanj 2016): objava barem dva znanstvena članka, prezentacija rezultata u sklopu Seminara za matematičko modeliranje na Sveučilištu u Zagrebu, te sudjelovanje na barem jednoj znanstvenoj konferenciji.
Doprinos istraživanja znanstvenom profiliranju Odjela za matematiku Sveučilišta u Rijeci te Katedre za primijenjenu matematiku Tehničkog fakulteta Sveučilišta u Rijeci
Predloženi znanstveno istraživački projekt u skladu je s misijom Sveučilišta u vidu stvaranja interdisciplinarnih timova i istraživanja. Budući da su u projekt uključeni članovi Odjela za matematiku i Tehničkog fakulteta, pri čemu istraživači imaju znanstvene izbore u matematici i području tehničkih znanosti, projekt pridonosi jačanju vidljivosti i Odjela za matematiku i Katedre za primijenjenu matematiku Tehničkog fakulteta, te jačanju suradnje među različitim sastavnicama Sveučilišta. Formiranje interdisciplinarnog tima istraživača koji već imaju niz dobrih rezultata i publikacija može značajno osnažiti istraživanje, te stvoriti temelj za kvalitetne rezultate i značajne pomake.